复变函数论(一)-复数与复变函数01：复数03【复数的模与辐角】

顺亿

2026-07-16 • 👁 0人浏览过

表示复数 zzz 的位置, 也可以借助于点 zzz 的极坐标 rrr 和 θ\thetaθ 来确定 (图 1.1). 这里使原点与直角坐标系的原点重合, 极轴与正实轴重合. 下面我们用向量 Oz→\overrightarrow{O z}Oz 来表示复数 z=x+iyz=x+\mathrm{i} yz=x+iy , 其中 x,yx, yx,y 顺次等于 Oz→\overrightarrow{O z}Oz 沿 xxx 轴与 yyy 轴的分量. 向量 Oz→\overrightarrow{O z}Oz 的长度称为复数 zzz 的模或绝对值, 以符号 ∣z∣|z|∣z∣ 或 rrr 表示, 因而有 r=∣z∣=x2+y2⩾0,r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geqslant 0,r=∣z∣=x2+y2⩾0, 且. ∣z∣=0|z|=0∣z∣=0 的充要条件是 z=0z=0z=0 . 这里引进的模的概念与实数的绝对值的概念是一致的. 由于复数 zzz 的模 ∣z∣|z|∣z∣ 是非负实数, 所以能够比较大小. 同样,复数的实、虚部也能够比较大小. 根据图 1.1 ,我们有不等式 ∣x∣⩽∣z∣,∣y∣⩽∣z∣,∣z∣⩽∣x∣+∣y∣,−∣z∣⩽Re⁡z⩽∣z∣,−∣z∣⩽Im⁡z⩽∣z∣.\begin{array}{l} |x| \leqslant|z|, \quad|y| \leqslant|z|, \quad|z| \leqslant|x|+|y|, \\ -|z| \leqslant \operatorname{Re} z \leqslant|z|, \quad-|z| \leqslant \operatorname{Im} z \leqslant|z| . \end{array}∣x∣⩽∣z∣,∣y∣⩽∣z∣,∣z∣⩽∣x∣+∣y∣,−∣z∣⩽Rez⩽∣z∣,−∣z∣⩽Imz⩽∣z∣. 及根据图 1.2 ,我们有不等式 ∣z1+z2∣⩽∣z1∣+∣z2∣\left|z_{1}+z_{2}\right| \leqslant\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|∣z1+z2∣⩽∣z1∣+∣z2∣ (三角形两边之和大于第三边). 它称为三角不等式. 此外, 根据图 1.3 ,我们还有不等式 ∣∣z1∣−∣z2∣∣⩽∣z1−z2∣|| z_{1}|-| z_{2}|| \leqslant\left|z_{1}-z_{2}\right|∣∣z1∣−∣z2∣∣⩽∣z1−z2∣ (三角形两边之差小于第三边). (1.2) 及 (1.3) 中等号成立的几何意义是:复数 z1,z2z_{1}, z_{2}z1,z2 所表示的两个向量共线且同向.即 z1≠0,z2≠0 时, z1=kz2(k>0). z_{1} \neq 0, z_{2} \neq 0 \text { 时, } z_{1}=k z_{2}(k>0) \text {. }z1=0,z2=0时,z1=kz2(k>0). 用数学归纳法可得推广了的三角不等式 ∣z1+z2+⋯+zn∣⩽∣z1∣+∣z2∣+⋯+∣zn∣.\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\right| \leqslant\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\cdots+\left|z_{n}\right| .∣z1+z2+⋯+zn∣⩽∣z1∣+∣z2∣+⋯+∣zn∣. 由图 1.3 可见, ∣z1−z2∣\left|z_{1}-z_{2}\right|∣z1−z2∣ 表示点 z1z_{1}z1 与点 z2z_{2}z2 的距离, 记为 d(z1,z2)=∣z1−z2∣.d\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left|z_{1}-z_{2}\right| .d(z1,z2)=∣z1−z2∣. 两复数差的模的这个几何意义是非常重要的. 它还可以借助解析几何中两点间的距离公式用解析方法得出: ∣z1−z2∣=∣(x1+iy1)−(x2+iy2)∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2.\begin{aligned} \left|z_{1}-z_{2}\right| & =\left|\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)-\left(x_{2}+\mathrm{i} y_{2}\right)\right| \\ & =\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} . \end{aligned}∣z1−z2∣=∣(x1+iy1)−(x2+iy2)∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2. 实轴正向到非零复数 z=x+iyz=x+\mathrm{i} yz=x+iy 所对应的向量 Oz→\overrightarrow{O z}Oz 间的夹角 θ\thetaθ 满足 tan⁡θ=yx,\tan \theta=\frac{y}{x},tanθ=xy, 称为复数 zzz 的辐角 (argument), 记为 θ=Arg⁡z.\theta=\operatorname{Arg} z .θ=Argz. 我们知道, 任一非零复数 zzz 有无穷多个辐角, 今以 arg⁡z\arg zargz 表示其中的一个特定值,并称适合条件 −π

{width=“180px”} 图1.5

{width=“192px”} [图 1.6 例 1.3 求 Arg⁡(2−2i)\operatorname{Arg}(2-2 i)Arg(2−2i) 及 Arg⁡(−3+4i)\operatorname{Arg}(-3+4 i)Arg(−3+4i) . 解 Arg⁡(2−2i)=arg⁡(2−2i)+2kπ=arctan⁡−22+2kπ\operatorname{Arg}(2-2 \mathrm{i})=\arg (2-2 \mathrm{i})+2 k \pi=\arctan \frac{-2}{2}+2 k \piArg(2−2i)=arg(2−2i)+2kπ=arctan2−2+2kπ =−π4+2kπ(k=0,±1,±2,⋯ ).Arg⁡(−3+4i)=arg⁡(−3+4i)+2kπ=arctan⁡4−3+π+2kπ=(2k+1)π−arctan⁡43(k=0,±1,±2,⋯ ).\begin{array}{c} =-\frac{\pi}{4}+2 k \pi \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) . \\ \operatorname{Arg}(-3+4 \mathrm{i})=\arg (-3+4 \mathrm{i})+2 k \pi=\arctan \frac{4}{-3}+\pi+2 k \pi \\ =(2 k+1) \pi-\arctan \frac{4}{3} \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) . \end{array}=−4π+2kπ(k=0,±1,±2,⋯).Arg(−3+4i)=arg(−3+4i)+2kπ=arctan−34+π+2kπ=(2k+1)π−arctan34(k=0,±1,±2,⋯). 例 1.4 已知流体在某点 MMM 的速度 v=−1−iv=-1-\mathrm{i}v=−1−i , 求其大小和方向. 解大小: ∣v∣=2|v|=\sqrt{2}∣v∣=2 ; 方向 : arg⁡v=arctan⁡−1−1−π=−3π4\arg v=\arctan \frac{-1}{-1}-\pi=-\frac{3 \pi}{4}argv=arctan−1−1−π=−43π . 从直角坐标与极坐标的关系, 我们可以用复数的模 rrr 与辐角 θ\thetaθ 来表示非零复数 zzz ,即(由图 1.1) z=r(cos⁡θ+isin⁡θ).z=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) .z=r(cosθ+isinθ). 特别, 当 r=1r=1r=1 时有 z=cos⁡θ+isin⁡θ,z=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta,z=cosθ+isinθ, 这种复数称为单位复数. 我们有如下的欧拉公式: eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ,\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta,eiθ=cosθ+isinθ, 容易验证 eiθ1eiθ2=ei(θ1+θ2)eθ1eiθ2=ei(θ1−θ2)}\left.\begin{array}{l} \mathrm{e}^{i \theta_{1}} \mathrm{e}^{i \theta_{2}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)} \\ \frac{\mathrm{e}^{\theta_{1}}}{\mathrm{e}^{i \theta_{2}}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} \end{array}\right\}eiθ1eiθ2=ei(θ1+θ2)eiθ2eθ1=ei(θ1−θ2)} 利用公式 (1.7), 就可以把 (1.6) 改写成 z=rei.z=r \mathrm{e}^{i} .z=rei. 也就是说,任一非零复数 zzz 总可以表示成 z=∣z∣einrk z,z=|z| \mathrm{e}^{\text {inrk } z},z=∣z∣einrkz, 这里的 arg⁡z\arg zargz 不必取主值. 我们分别称 (1.6) 式及 (1.9) (或 (1.9)′(1.9)^{\prime}(1.9)′ ) 式为非零复数 zzz 的三角形式和指数形式, 并称 z=x+iyz=x+\mathrm{i} yz=x+iy 为复数 zzz 的代数形式.复数的这三种表示法可以互相转换, 以适应讨论不同问题时的需要,且使用起来各有其便. 例 1.5 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)=2eπ4;i=1⋅(cos⁡π2+isin⁡π2)=eπ2i;1=1⋅(cos⁡0+isin⁡0)=e0⋅i;−2=2(cos⁡π+isin⁡π)=2eπi;−3i=3[cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2)]=3e−π2i.\begin{aligned} 1+i & =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}} ; \\ \mathrm{i} & =1 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}+\mathrm{i} \sin \frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} i} ; \\ 1 & =1 \cdot(\cos 0+\mathrm{i} \sin 0)=\mathrm{e}^{0 \cdot i} ; \\ -2 & =2(\cos \pi+\mathrm{i} \sin \pi)=2 \mathrm{e}^{\pi i} ; \\ -3 \mathrm{i} & =3\left[\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]=3 \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2} i} . \end{aligned}1+ii1−2−3i=2(cos4π+isin4π)=2e4π;=1⋅(cos2π+isin2π)=e2πi;=1⋅(cos0+isin0)=e0⋅i;=2(cosπ+isinπ)=2eπi;=3[cos(−2π)+isin(−2π)]=3e−2πi. 还有 e−π2i=−i,eπi=−1,e2kπi=1\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2} \mathrm{i}}=-\mathrm{i}, \mathrm{e}^{\pi \mathrm{i}}=-1, \mathrm{e}^{2 k \pi i}=1e−2πi=−i,eπi=−1,e2kπi=1 ( kkk 为整数). 例 1.6 将复数 1−cos⁡φ+isin⁡φ(0<φ⩽π)1-\cos \varphi+\mathrm{i} \sin \varphi \quad(0<\varphi \leqslant \pi)1−cosφ+isinφ(0<φ⩽π) 化为指数形式. 解原式 =2sin⁡2φ2+2isin⁡φ2cos⁡φ2=2sin⁡φ2(sin⁡φ2+icos⁡φ2)=2 \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}+2 \mathrm{i} \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}=2 \sin \frac{\varphi}{2}\left(\sin \frac{\varphi}{2}+\mathrm{i} \cos \frac{\varphi}{2}\right)=2sin22φ+2isin2φcos2φ=2sin2φ(sin2φ+icos2φ) =2sin⁡φ2[cos⁡(π2−φ2)+isin⁡(π2−φ2)]=2sin⁡φ2e(π2−φ2).=2 \sin \frac{\varphi}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right]=2 \sin \frac{\varphi}{2} \mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)} .=2sin2φ[cos(2π−2φ)+isin(2π−2φ)]=2sin2φe(2π−2φ). 当 z=x+iy≠0z=x+\mathrm{i} y \neq 0z=x+iy=0 时, 记 arg⁡z=θ\arg z=\thetaargz=θ (主值), 则 tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ=rsin⁡θr+rcos⁡θ=yx+x2+y2,\tan \frac{\theta}{2}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}=\frac{r \sin \theta}{r+r \cos \theta}=\frac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}},tan2θ=1+cosθsinθ=r+rcosθrsinθ=x+x2+y2y, 所以 arg⁡z=θ( 主值 )=2arctan⁡yx+x2+y2.\arg z=\theta(\text { 主值 })=2 \arctan \frac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}} .argz=θ(主值)=2arctanx+x2+y2y. 对于 z1=r1ee1,z2=r2eiθ2z_{1}=r_{1} \mathrm{e}^{e_{1}}, z_{2}=r_{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_{2}}z1=r1ee1,z2=r2eiθ2 , 则 z1=z2⇔r1=r2,θ1=θ2 (或 θ1=θ2+2kπ,k 为整数). z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow r_{1}=r_{2}, \theta_{1}=\theta_{2} \text { (或 } \theta_{1}=\theta_{2}+2 k \pi, k \text { 为整数). }z1=z2⇔r1=r2,θ1=θ2(或θ1=θ2+2kπ,k为整数). 利用复数的指数形式作乘除法较简单. 因由 (1.8) 可立得 z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2),z1z2=r1e(θ1r2eθ2=r1r2ei(θ1−θ2),}\left.\begin{array}{l} z_{1} z_{2}=r_{1} \mathrm{e}^{i \theta_{1}} r_{2} \mathrm{e}^{i \theta_{2}}=r_{1} r_{2} \mathrm{e}^{i\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}, \\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1} \mathrm{e}^{\left(\theta_{1}\right.}}{r_{2} \mathrm{e}^{\theta_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \mathrm{e}^{i\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}, \end{array}\right\}z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2),z2z1=r2eθ2r1e(θ1=r2r1ei(θ1−θ2),} 所以 ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣(z2≠0),Arg⁡(z1z2)=Arg⁡z1+Arg⁡z2,Arg⁡z1z2=Arg⁡z1−Arg⁡z2.}\left.\begin{array}{c} \left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|, \quad\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}\left(z_{2} \neq 0\right), \\ \operatorname{Arg}\left(z_{1} z_{2}\right)=\operatorname{Arg} z_{1}+\operatorname{Arg} z_{2}, \\ \operatorname{Arg} \frac{z_{1}}{z_{2}}=\operatorname{Arg} z_{1}-\operatorname{Arg} z_{2} . \end{array}\right\}∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,z2z1=∣z2∣∣z1∣(z2=0),Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,Argz2z1=Argz1−Argz2.⎭⎬⎫ 公式 (1.10) 的第一式说明, z1z2z_{1} z_{2}z1z2 所对应的向量是把 z1z_{1}z1 所对应的向量的长度伸缩 r2=∣z2∣r_{2}=\left|z_{2}\right|r2=∣z2∣ 倍, 然后再旋转一个角度 θ2=arg⁡z2\theta_{2}=\arg z_{2}θ2=argz2 得到的 (图1.7). 特别是, 当 ∣z2∣=1\left|z_{2}\right|=1∣z2∣=1 时,只需旋转一个角度 θ2=arg⁡z2\theta_{2}=\arg z_{2}θ2=argz2 就行了. 这就是说, 以单位复数乘任何数, 几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度. 特别, iz\mathrm{i} ziz 相当于将 zzz 所对应的向量 Oz→\overrightarrow{O z}Oz 沿逆时针方向旋转 π2\frac{\pi}{2}2π . 这里 i\mathrm{i}i 称为旋转乘数. 另外,

{width=“168px”} [图 1.7 arg⁡(αz)=arg⁡z(α>0).\arg (\alpha z)=\arg z \quad(\alpha>0) .arg(αz)=argz(α>0). 注 (1) 在复平面上, 一直线绕其上一定点旋转, 可有两种旋转方向, 一种是 “逆时针” 的, 另一种是 "顺时针"的.按惯例, 我们规定逆时针方向旋转的角度为正, 顺时针方向旋转的角度为负. (2) 当把复数作为向量看待时,复数的乘法既不同于向量的内积 (或数量积), 也不同于向量的外积(或向量积). 上面关于辐角的两个等式 (1.12), 两边各是无穷多个数 (角度) 的数集. 例如, 设 (1.12) 的第一个等式右边 Arg⁡z1={π6+2nπ}n=0.±1,…\operatorname{Arg} z_{1}=\left\{\frac{\pi}{6}+2 n \pi\right\}_{n=0 . \pm 1, \ldots}Argz1={6π+2nπ}n=0.±1,… , Arg⁡z2={π4+2mπ}m=0,±1,…\operatorname{Arg} z_{2}=\left\{\frac{\pi}{4}+2 m \pi\right\}_{m=0, \pm 1, \ldots}Argz2={4π+2mπ}m=0,±1,… , 则左边 Arg⁡(z1z2)={5π12+2kπ}k=0.±1,…,\operatorname{Arg}\left(z_{1} z_{2}\right)=\left\{\frac{5 \pi}{12}+2 k \pi\right\}_{k=0 . \pm 1, \ldots},Arg(z1z2)={125π+2kπ}k=0.±1,…, (1.12) 的第一个等式意味着, 在等式左边取出一个数值 (相当于取定一个 kkk 值), 等式右边也可以相应地分别找出 mmm 与 nnn 的值, 使得右边的和数等于左边之值; 反过来也对. 注意公式 (1.12) 的 Arg⁡z\operatorname{Arg} zArgz 可以换成 arg⁡z\arg zargz ,但 arg⁡z\arg zargz 应理解为辐角的某个特定值, 不必是主值. 若均理解为主值, 则两端允许相差 2π2 \pi2π 的整倍数, 即有 arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2+2k1π,arg⁡z1z2=arg⁡z1−arg⁡z2+2k2π,}\left.\begin{array}{c} \arg \left(z_{1} z_{2}\right)=\arg z_{1}+\arg z_{2}+2 k_{1} \pi, \\ \arg \frac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}+2 k_{2} \pi, \end{array}\right\}arg(z1z2)=argz1+argz2+2k1π,argz2z1=argz1−argz2+2k2π,} 其中 k1,k2k_{1}, k_{2}k1,k2 各表示某个适当整数, arg⁡z\arg zargz 表示主值. 例 1.7 对于复数 α,β\alpha, \betaα,β , 若 αβ=0\alpha \beta=0αβ=0 , 则 α,β\alpha, \betaα,β 至少有一个为零. 试证之. 证若 αβ=0\alpha \beta=0αβ=0 , 则必有 ∣αβ∣=0|\alpha \beta|=0∣αβ∣=0 , 因而 ∣α∣∣β∣=0.|\alpha||\beta|=0 .∣α∣∣β∣=0. 由实数域中对应的结果知 ∣α∣,∣β∣|\alpha|,|\beta|∣α∣,∣β∣ 至少有一个为零. 所以 α,β\alpha, \betaα,β 至少有一个为零.

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